Informace uvedené na této stránce se týkají pouze nové akreditace (počátek studia v roce 2013 nebo později.)

Novinky:

1.6.2016---upraven odstavec 3.2

Průběh státní závěrečné zkoušky

Student po předchozí přípravě ústně zodpoví šest otázek z teorie parciálních diferenciálních rovnic (jedna otázka), funkcionální analýzy (jedna otázka), teorie metody konečných prvků (jedna otázka), teorie řešení algebraických rovnic (jedna otázka), kinematiky a dynamiky kontinua (jedna otázka) a teorie konstitutivních vztahů pro tekutiny a pevné látky (jedna otázka).

Očekává se, že jedné otázce bude vyhrazeno deset minut. Přesný rozpis zkoušené látky je uveden níže.

1. Parciální diferenciální rovnice

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech teorie parciálních diferenciálních rovnic ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii parciálních diferenciálních rovnic kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do parciálních diferenciálních rovnic.

1.1 Sobolevovy prostory

Slabá derivace, definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů W^k,p - reflexivita, separabilita, hustota hladkých funkcí, operátor prodloužení pro W^1,p-funkce a lipschitzovskou hranici. Věty o spojitém a kompaktním vnoření Sobolevových prostorů do Lebesgueových a Hölderových prostorů. Zavedení stop pro funkce ze Sobolevových prostorů, věta o stopách, inverzní věta o stopách.

1.2 Slabá řešení pro lineární eliptické rovnice na omezené oblasti

Formulace slabé úlohy pro lineární eliptickou rovnici s různými okrajovými podmínkami, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci (symetrický operátor), pomocí Lax-Milgramova lematu respektive Galerkinovou metodou. Kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru. Fredholmova alternativa a její aplikace. Princip maxima pro slabé řešení. W^2,2 regularita pomocí techniky diferencí. Samoadjungovaný operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu.

1.3 Slabá řešení pro nelineární eliptické rovnice na omezené oblasti

Úvod do variačního počtu, základní věta variačního počtu, duální formulace, souvislost s konvexitou. Existence a jednoznačnost řešení nelineárních úloh pomocí věty o pevném bodu (nelineární Lax-Milgram pro dvojkovou strukturu). Existence řešení pomocí Galerkinovy metody a Mintyho triku - monotónní operátor a semilineární člen.

1.4 Lineární parabolické rovnice 2. řádu

Bochnerovy prostory a jejich základní vlastnosti, Gelfandova trojice, Aubin-Lionsova věta. Slabá formulace, nabývání počáteční podmínky, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení (časová a prostorová),  zhlazující vlastnost, princip maxima.

1.5 Lineární hyperbolické rovnice 2. řádu

Slabá formulace hyperbolického problému, nabývání počátečních podmínek, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost, regularita řešení (časová a prostorová), konečná rychlost šíření signálu.

2. Numerická matematika

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Metoda konečných prvků a Maticové iterační metody 1. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech numerické matematiky ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v látce probírané kupříkladu v přednáškách Analýza maticových výpočtů 1 a Základy numerické matematiky.

2.1 Metoda konečných prvků (MKP) pro řešení eliptických rovnic

Galerkinova a Ritzova metoda pro řešení abstraktní lineární eliptické rovnice. Odhad diskretizační chyby této metody - Céovo lemma. Definice abstraktního konečného prvku, jednoduché příklady konečných prvků Lagrangeova a Hermiteova typu. Teorie aproximací v Sobolevových prostorech: aproximační vlastnosti operátorů zachovávajících polynomy. Aplikace těchto výsledků pro prvky Lagrangeova a Hermiteova typu. Odvození řádu konvergence přibližných řešení konkrétních eliptických úloh 2. řádu. Odhad řádu konvergence v L2 normě - Nitscheho lemma.

Základy numerické integrace v MKP.

2.2 Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel

Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel Spektrální rozklad operátorů a matic. Invariantní podprostory a spektrální informace, normalita. Srovnání přímých a iteračních metod pro řešení lineárních algebraických soustav. Projekční proces a problém momentů. Popis konvergence iteračních metod. Souvislost mezi iteračními metodami pro řešení soustav rovnic a metodani pro výpočet vlastních čísel. Srovnání metod pro řešeni lineárních a nelineárních soustav algebraických rovnic. Numerická stabilita výpočtů a popis algebraické chyby v souvislosti s řešením problémů matematického modelování.

3. Funkcionální analýza

Zkoušená látka je probírána zejména v přednášce Funkcionální analýza 1. Teorie prostorů funkcí je také částečně pokryta přednáškami Parciální diferenciální rovnice 1 a Parciální diferenciální rovnice 2. Předpokládá se, že se student velmi dobře orientuje v základech funkcionální analýzy ve smyslu vstupních požadavků pro navazující magisterské studium, tedy v teorii kupříkladu na úrovni přednášky Úvod do funkcionální analýzy.

3.1 Hilbertovy a Banachovy prostory

Definice, norma, skalární součin,příklady Banachových prostorů. Lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta. Duální prostory, reprezentace některých duálů (Hilbertovy prostory, Lebesgueovy prostory). Rieszova věta o reprezentaci. Slabá a *-slabá konvergence. Banach-Alaogluova věta. Slabá kompaktnost a reflexivita.

3.2 Spojitá lineární zobrazení

Definice,základní vlastnosti, norma, prostor lineárních zobrazení, adjungované zobrazení. Základní vlastnosti spektra a spektrálního poloměru, Gelfandova-Mazurova věta. Kompaktní operátory, symetrický operátor, samoadjungovaný operátor, uzávěr operátoru, uzavřený operátor, definice a vlastnosti adjungovaného operátoru. Vlastní čísla a vlastní funkce symetrických eliptických operátorů.

3.3 Věty o pevných bodech

Banachova věta, Brouwerova věta, Schauderova věta.

3.4 Integrální transformace a základy teorie distribucí

Definice Fourierovy transformace na L₁ a její základní vlastnosti, věta o inverzi, Fourierova transformace konvoluce a derivace, Plancherelova věta. Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí), Schwarzův prostor a temperované distribuce, Fourierova transformace funkcí ze Schwarzova prostoru a temperovaných distribucí, její základní vlastnosti. Fourierova transformace na L₂.

4. Mechanika kontinua

Zkoušená látka je probírána zejména v přednáškách Mechanika kontinua, Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin a Termodynamika a mechanika pevných látek.

4.1 Kinematika kontinua

Popis pohybu spojitého prostředí. Deformace čarových, plošných a objemových elementů, deformace, deformační gradient, polární rozklad deformačního gradientu a jeho interpretace, pravý a levý Cauchy-Greenův tenzor, Green-St. Venantův tenzor. Rychlost deformace čarových, plošných a objemových elementů. Zavedení materiálové a prostorové rychlosti, gradient rychlosti, symetrický gradient rychlosti, materiálová derivace. Proudnice a proudočáry. Nutné a postačující podmínky pro materiálové plochy. Lagrangeův a Eulerův popis. Podmínky kompatibility. Izotropní tenzorové funkce, věta o reprezentaci izotropních tenzorových funkcí.

4.2 Dynamika kontinua

Bilanční rovnice (hmota, hybnost, moment hybnosti, celková energie) v prostorovém i materiálovém popisu. Integrální tvar bilančních rovnic, princip lokalizace. Cauchy tenzor napětí, první Piola-Kirchhoff tenzor napětí. Formulace bilančních rovnic v neinerciální vztažné soustavě.

4.3 Jednoduché konstitutivní vztahy

Stlačitelná a nestlačitelná Navier-Stokes tekutina, linearizovaná pružnost, okrajové podmínky. Geometrická linearizace.

4.4 Nenewtonské tekutiny

Termodynamika kontinua, bilanční rovnice. Entropie. Rychlost produkce entropie. Nestlačitelnost. Předpoklad maximalizace rychlosti produkce entropie a jeho využití pro návrh matematických modelů. Podrobný přehled nenewtonovských jevů. Závislost viskozity na symetrickém gradientu rychlosti a tlaku, rozdíl normálových napětí, aktivační/deaktivační kritéria, relaxace napětí (stress relaxation), tečení (non-linear creep). Princip objektivity a jeho důsledky. Objektivní veličiny. Objektivní časové derivace, věta o reprezentaci izotropních tenzorových funkcí. Nejpoužívanější materiálové modely. Tekutiny diferenciálního,  integrálního a rychlostního  typu. Tekutiny mocninného  typu,  tekutiny s viskozitou závislou na tlaku, tekutiny Binghamova typu.

4.5 Pevné látky

Princip objektivity a jeho důsledky. Objektivní veličiny. Elastické materiály v konečné pružnosti, linearizovaná teorie, nestlačitelné materiály v konečné pružnosti i linearizované teorii, hyperelasticita, chování modelu vzhledem k determinantu gradientu deformace, definice prvního Piola-Kirchhofova tenzoru napětí v případě hyperelastického materiálu, materiálové modely v konečné pružnosti, elastické konstanty hyperelastického materiálu, homogenní-nehomogenní materiál.

Rheologické modely, Kelvinův-Voigtův materiál, Maxwellův materiál, viskózní materiály s vedením tepla, termoelastický materiál, adiabatický materiál. Clausiova-Duhemova nerovnost a její důsledky pro konstitutivní vztahy.